Virkni faraldurssjúkdóma án tryggðrar ónæmis

Ágrip

Heimsfaraldur alvarlegs bráðrar öndunarfæraheilkennis Coronavirus 2 (SARS-CoV-2) bendir til nýrrar tegundar útbreiðslu sjúkdóma. Við rannsökum hér tilvikið þar sem sýktir aðilar ná sér og þróa aðeins ónæmi ef þeir eru stöðugt sýktir í einhvern tíma τ. Fyrir stóra τ er sjúkdómslíkaninu lýst með tölfræðilegri sviðskenningu. Þess vegna einkenna áfangar undirliggjandi sviðskenningarinnar gangverki sjúkdómsins: (i) heimsfaraldursfasa og (ii) viðbragðskerfi. Tölfræðisviðskenningin gefur efri mörk fyrir hámarkshraða sýktra efna.

Öndunarfæraheilkenni er algengur kvilli, sérstaklega á árstíðum þar sem hitastig breytist. Á undanförnum árum, með aukningu ýmissa mengunarefna, hefur tíðni öndunarfæraheilkennis einnig aukist. Við ættum að skilja sambandið milli öndunarfæraheilkennis og ónæmis og með því að efla ónæmi, koma í veg fyrir og lina þennan sjúkdóm.

Ónæmi er fyrsta varnarlína líkamans gegn vírusum og bakteríum. Þegar ónæmi líkamans er veikt er fólk viðkvæmt fyrir sýkingu og öndunarfæraheilkenni mun einnig koma fram. Þess vegna verðum við að gera ráðstafanir til að auka friðhelgi, þar á meðal að huga að mataræði, hreyfa sig hóflega og viðhalda góðu viðhorfi.

Mataræði gegnir mikilvægu hlutverki við að styrkja ónæmi. Að borða meira af ávöxtum og grænmeti getur bætt við vítamínum og snefilefnum sem líkaminn þarfnast og þar með aukið ónæmi líkamans. Á sama tíma getur það dregið úr álagi á líkamann að vissu marki að borða minna eða borða ekki of mikið af sterkan og feitan mat og bæta friðhelgi.

Hófleg hreyfing er einnig áhrifarík leið til að auka ónæmi. Það getur ekki aðeins bætt sjúkdómsþol líkamans heldur einnig stuðlað að heilsu hjarta- og æðakerfisins. Hins vegar er einnig nauðsynlegt að borga eftirtekt til að magn hreyfingar sé ekki of mikið, annars mun það leiða til hnignunar á friðhelgi.

Að viðhalda góðu viðhorfi er einnig mikilvægur þáttur í að efla friðhelgi. Tilfinningalega stöðugt fólk er líklegra til að viðhalda góðri heilsu vegna þess að tilfinningalegur óstöðugleiki getur leitt til ójafnvægis í seytingu hormóna í líkamanum og þar með dregið úr ónæmi líkamans.

Í stuttu máli er ónæmi einn af lykilþáttum öndunarfæraheilkennisins. Við ættum að gera ráðstafanir til að efla friðhelgi okkar, svo sem að styrkja líkamsrækt, bæta matarvenjur, viðhalda góðu viðhorfi o.s.frv., sem getur komið í veg fyrir öndunarfæraheilkenni og einnig komið í veg fyrir öndunarfæraheilkenni. Það getur í raun létt á einkennum og bætt áhrif meðferðar. Ég trúi því að með þessum aðgerðum munum við geta viðhaldið sterkum líkama og lifað heilbrigðu lífi. Frá þessu sjónarhorni þurfum við að bæta friðhelgi okkar. Cistanche getur verulega bætt ónæmi, vegna þess að kjötaska inniheldur margs konar líffræðilega virka efnisþætti, eins og fjölsykrur, tveir sveppir, Huang Li, osfrv. Þessir þættir geta örvað ónæmiskerfið Ýmsar tegundir frumna í kerfinu, aukið ónæmisvirkni þeirra.

Smelltu á heilsuávinning af cistanche

Árangursrík eftirlitsstefna þarf að miða að því að halda sjúkdómnum í viðbragðsáætlun (engin „önnur“ bylgja). Líkanið er prófað á megindlegu stigi með því að nota hugsjónað sjúkdómsnet. Líkanið lýsir vel faraldursútbreiðslu SARS-CoV-2 faraldursins í borginni Wuhan í Kína. Við komumst að því að aðeins 30 prósent af þeim efnum sem hafa náðst hafa þróað ónæmi.

Leitarorð:

Smitandi sjúkdómar; Kórónaveira; SARS-CoV-2; Töluleg uppgerð.

1. Inngangur

Hröð útbreiðsla sjúkdóms um tiltekið svæði eða svæði (faraldur) eða heimsfaraldur sjúkdóms (faraldur), sjá Porta [17], getur haft skaðleg áhrif á heilbrigðiskerfi, staðbundin og alþjóðleg hagkerfi, þar með talið fjármálamarkaði og félagshagfræðileg samskipti, allt frá borginni til alþjóðlegs stigs. Aðgerðir til að draga úr útbreiðslu heimsfaraldurs eru meðal annars að draga úr samskiptum milli sýktra og ósýktra hluta íbúanna og draga úr smithættu eða næmi almennings, sjá td Ferguson o.fl. [5].

Tvær helstu aðferðir sem stjórnvöld nota til að meðhöndla faraldur eru að hægja á faraldri (meðlögun) eða að trufla útbreiðslu sjúkdómsins (bælingu). Þar sem hver þessara inngripa hefur umtalsverða áhættu fyrir samfélagslega og efnahagslega velferð, er mikilvægt að skilja árangur þessara aðferða (eða hvers kyns blendings þeirra).

Stærðfræðilegar aðferðir veita nauðsynleg inntak fyrir ákvarðanatöku stjórnvalda sem miðar að því að hafa stjórn á braustinu. Meðal þeirra eru tölfræðilegar aðferðir, Unkel o.fl. [22], Becker og Britton [2], deterministic state-space models, Brauer o.fl. [3] með frumgerð sinni þróuð af Kermack o.fl. [12], og margvísleg flókin netlíkön, td Hwang o.fl. [10], Shirley og Rushton [19].

Mismunandi stærðfræðilegar nálganir hafa mismunandi markmið: Marktæk beiting tölfræðilegra aðferða miðar oft að því að greina snemma uppkomu sjúkdóma eins og lýst er af Unkel o.fl. [22], en líkanagerð reynir annaðhvort að þróa líkan eins raunhæft og mögulegt er fyrir tiltekið faraldur eða að hanna einfalt líkan, sem hins vegar sýnir einhvern algildan sannleika um gangverki faraldursins.

Í einföldustu útgáfunni taka hin svokölluðu hólfalíkön (sjá Kermack o.fl. [12], Hethcote [9]) til þess hluta þýðisins sem er annað hvort næmur (S), sýktur (I) eða fjarlægður (R) frá sjúkdómsnetinu. Tengdar mismunajöfnur fanga gangverki sjúkdómsins sem ákvarðar tímafíkn S, I og R. Framlengingar bæta við fleiri hólfum við SIR líkanið (Sensible Infected Removed) eins og (E) útsett.

Til dæmis var SEIR-líkan (Susceptible Exposed Infected Removed) notað af Lekone og Finkenstädt [15] til að lýsa ebólufaraldrinum í Lýðveldinu Kongó árið 1995. Hólfslíkön hafa verið notuð til að lýsa nýlegu SARS-CoV{ {3}} faraldur. Valin rit eru Giordano o.fl. [7], Krishna og Prakash [13], Tagliazucchi o.fl. [21], Lin o.fl. [16], Anastassopoulou o.fl. [1], Wu o.fl. [23]. Til dæmis er vandað líkanið frá Giordano o.fl. notar alls 8 hólf - næm (S), sýkt (I), greind (D), veik (A), viðurkennd (R), í hættu (T), gróin (H) og útdauð (E) - til að lýsa Kórónuveirusjúkdómur 2019 (COVID-19) faraldur á Ítalíu.

Hólfslíkön hafa verið framlengd af Dureau o.fl. [4] til að fanga stokastískt óþekkt áhrif, svo sem breytta hegðun. Slík líkön voru nýlega notuð til að greina COVID-19 faraldurinn í Wuhan af Kucharski o.fl. [14]. Nýtt útvíkkað SEIR líkan fyrir faraldur, sem tekur mið af félags-pólitískri flokkun mismunandi inngripa, var lagt til af Proverbio o.fl. [18] til að meta gildi nokkurra bælingaraðferða.

Hólfslíkön taka á hnattrænum stærðum eins og hlutfalli næmra einstaklinga og gera ráð fyrir að hraðajöfnur geti lýst gangverki sjúkdómsins. Ef um er að ræða mjög ósamhæft (félagslegt) net, td að teknu tilliti til mismunandi íbúaþéttleika, virðist ofangreind forsenda ekki alltaf vera réttlætanleg. Í þessum tilfellum er hægt að lýsa útbreiðslumynstri í staðbundnum sjúkdómum með stochastic netlíkani með Monte-Carlo uppgerð sem er algengt val fyrir uppgerðina.

Í þessari grein skoðum við gangverki sjúkdóma þar sem lengd (alvarleiki) veikinda fer eftir magni váhrifa. Með því að nota grunnnet (félagslegt) erum við að leita að alhliða aðferðum sem lýsa útbreiðslu heimsfaraldurs. Við munum afhjúpa tengingu við tölfræðilega sviðsfræði, sem gerir okkur kleift að einkenna faraldur með tækjum mikilvægra fyrirbæra. Við munum ræða áhrif niðurstaðnanna á stefnur til að hefta faraldur og ljúka COVID-19 faraldri í Wuhan, Hubei héraði, Kína.

2 Líkangerð

2.1 Grunnatriði líkansins

Hver hefur samskipti við fjóra „nágranna“ samfélagsnetsins. Útbreiðslu sjúkdómsins er lýst sem stokastísku ferli. Í hverju tímaþrepi (segjum „dagur“) fer líkurnar á því að einstaklingur smitist (eða nái sér) eftir stöðu nágrannanna á samfélagsnetinu. Hér er aðeins rannsakað hið einfalda tilvik um einsleitt net með fjórum nágrönnum fyrir hverja síðu. Við lítum einnig á reglubundnar jaðarskilyrði til að lágmarka brúnáhrif.

2.2 Ónæmi

Við skoðum tvær nátengdar aðstæður.

(i) Það er ekkert friðhelgi. Sérhver einstaklingur getur verið endursmitaður og getur náð sér aðeins til að verða næmur aftur (Sis-líkan).

(ii) Einstaklingar geta verið endursmitaðir og náð sér. Aðeins ef einstaklingar eru sýktir í τ samfellda daga eru þeir taldir ónæmir.

Í tilviki (ii) eru staðir ónæmis einstaklinga fjarlægðir úr sjúkdómsnetinu.

2.3 Sjúkdómsvirkni

Ef x er staður sjúkdómsnetsins er í hverju tímaþrepi ástandið ux ∈ {0, 1} valið af handahófi með líkum

þar sem xy er grunntengill á grindunum sem tengir síðuna x og y og þar af leiðandi er n fjöldi sýktra nágranna og Nx =1 plús exp{4 nx plús 2h} er eðlileg. Færibreytan h er tengd við líkurnar á að fá sjúkdóminn utan netkerfisins. Ef enginn á netinu er sýktur (nx=0, ∀x), eru líkurnar á p á að einhver einstaklingur fái sjúkdóminn tengdar h með p=exp{2h} 1 plús exp{2h} .

Viðfangið lýsir smithættu sjúkdómsins. Líkurnar á að einhver einstaklingur smitist (UX=1) eykst með 4 nx plús 2klst. Færibreytan lýsir því hversu viðkvæmar þessar líkur eru háðar váhrifum, þ.e. fjölda nx sýktra nágranna.

Ef grindurnar innihalda N einstaklinga (þ.e. síður) er sagt að einu skrefi sé lokið ef við höfum talið N valin staði af handahófi fyrir uppfærsluna.

3 Heimsfaraldurinn breiddist út sem mikilvægt fyrirbæri

3.1 Hámarks sýkingartíðni

Sviðsmynd (ii) sýnir dæmigerða tímaþróun faraldurs þar sem sýkingartíðni nálgast núll í langan tíma vegna þess að lyf eru að jafna sig og vaxandi fjöldi er ónæmur. Aftur á móti hefur atburðarás (i) einkennalaust ástand sem er óháð upphafsástandinu og lýst með tölfræðilegri sviðskenningu. Eftir breytingu á breytunni zx=2ux – 1 er einkennalausu ástandi lýst með skiptingarfalli Ising líkansins, Ising [11], Friedli og Velenik [6]:

með H=h plús 4 , sem er hið vel þekkta skiptingarfall fyrir Ising snúninga z í ytra segulsviði H. Sjúkdómsvirkni atburðarás (i) samsvarar Markov keðju staðbundinna uppfærslu í Ising líkaninu með Markov tíma auðkenndan sem rauntíma.

Fyrir ytra svið H sem hverfur sýnir líkanið mikilvæga hegðun með fasaskipti við {{0}} c=ln(1 plús √2)/2 ≈ 0.44 . Í röðuðum fasa fyrir > c, koma litlar frælíkur p > 0 af stað sýkingartíðni nálægt 100 prósentum íbúanna. Líkanið er á „faraldursskeiði“. Fyrir < c er líkanið í 'viðbragðs' fasa, þ.e. sýkingartíðni er svar við frælíkum p, en ekkert faraldur kemur fram. Hægt er að reikna út einkennalausa sýkingartíðni með Markov Chain Monte-Carlo (MCMC) aðferðum. Með því að byrja, td án sýktra efna (ux=0 eða zx=–1), skapar hvert tímaskref (sjá kafla 2) eitt sýnishorn af útbreiðslu sjúkdómsins. Hvert sjúkdómsmynstur fer aðeins eftir deginum á undan og röð daganna myndar Markov keðju.

Eftir nokkurn tíma, sem er kallaður „hitavæðingartími“ í tölfræðilegri eðlisfræði, byrjar daglegt sýkingartíðni að sveiflast í kringum meðaltalið, þ.e. einkennalausa tíðni. Einkennalausa hlutfallið er óháð uppgerðinni ef ákveðnum MCMC skilyrðum er fullnægt.

Þar á meðal er auðvelt að brjóta ergodicity í heimsfaraldri fyrir svokallaða staðbundna uppfærslualgrím, einna helst Metropolis–Hastings einn, Hastings [8]. Hér notuðum við hið fullkomna Swendsen-Wang klasa reiknirit, sem skilar góðum árangri í báðum stigum, sjá Swendsen og Wang [20]. Tölulegar niðurstöður okkar eru teknar saman á mynd 1, vinstri spjaldið. Kúrfa (2) aðskilur báða áfangana - heimsfaraldursfasinn og viðbragðsfyrirkomulagið.'

3.2 Ónæmi

Við skulum nú rannsaka atburðarás (ii), þar sem einstaklingar geta þróað ónæmi ef þeir eru sýktir í τ daga í röð. Fyrir τ > tth er hámarkshlutfall sýkingar það sem er í einkennalausu ástandi samsvarandi líkans (i) og erfir þar af leiðandi flokkunina „faraldur“ eða „viðbragðsfasa“. Þetta er sýnt á mynd 1, hægri spjaldið, fyrir heimsfaraldurinn fyrir nokkur gildi τ. Mynd 2 sýnir gríðarlega mismunandi hegðun sjúkdómsins sem dreifist í heimsfaraldri (= 0.41, p=5 prósent) og viðbragðsfyrirkomulagi (= 0.38, bls {{7} } prósent). Niðurstöður eru fyrir N=100 × 100 net og τ=11. Athugaðu að ferillinn fyrir „sýkt plús ónæmi“ („þríhyrningstákn“) í heimsfaraldursfasanum eykst ekki eintóna með tímanum þar sem sýktir einstaklingar geta farið aftur í „næmt“ ástand, þ.e. ekki allir sýktir einstaklingar verða ónæmir. Athugaðu að í viðbragðskerfinu („hringur“ og „ferningur“ tákn), „pan-demíu“ toppurinn er algjörlega fjarverandi. Hins vegar, aftur á móti, þróast svokallað „hjarðarónæmi“ hægt og rólega með tímanum.

3.3 Samanburður við gögn

Við leggjum áherslu á að líkanið um einsleitt (félagslegt) net með „fjórum nágrönnum“ er óraunhæft. Rannsókn á ólíku sjúkdómsneti er í vinnslu. Þekking á undirliggjandi sjúkdómsneti er nauðsynleg til að gera magnspár, td mikilvægu gildi c smitsjúkdómsins. Hér tökum við upp aðra nálgun: við gerum ráð fyrir að eigindleg tímaþróun magnmagna eins og hluta sýktra einstaklinga sé innan seilingar líkansviðsmyndar (ii) og notum þær sem passaaðgerðir til að ákvarða líkanbreytur eins og , p og τ í samanburði við raunveruleg gögn. Fyrir þessa rannsókn notuðum við gögn frá COVID-19 braust árið 2020 í borginni Wuhan, Hubei héraði í Kína, Yu [24] (sótt 16. apríl 2020). Gögnin um fjölda smitaðra einstaklinga sýna stökk á degi 73 (á handahófskenndum tímakvarða) um 40 prósent, sem er vegna breytinga á skýrslugjöf.
Við gerum ráð fyrir að sama „vanskýrslan“ hafi átt sér stað dagana áður. Með hliðsjón af þeirri staðreynd að líkindadreifingin (sýkta hlutfallið) er samfellt fall, höfum við leiðrétt gögnin með því að margfalda fjölda sýktra (og sýktra plús endurheimt) með stuðlinum 1,4 fyrir sinnum t minna en eða jafnt og 73. Látum D(t, τ, , p) vera brot af þýði sýktra einstaklinga sem fall af tíma t og eftir breytum τ (tími til að þróa ónæmi), (smitsemi) og p (líkur fræja) til að fá sýktur. Við höfum reiknað D(t, τ, , p) með N=250 × 250 grind. Við athuguðum að niðurstaðan er óháð grindarstærð á prósentubilinu fyrir þær breytur sem skipta máli fyrir þessa rannsókn. Ef Dwuhan(t) mælir mæld gildi fyrir fjölda smitaðra í Wuhan braustinu, viljum við nálgist þessi gögn, þ.e.

Dwuhan(t) ≈ NpopD(t – ts, τ , , p)

með viðeigandi vali á færibreytunni Npop, ts, , og p., Þar sem offset á tímaásnum í Wuhan gögnunum er handahófskennt, höfum við valið tilfærsluna þannig að toppar hermagagna og mældra gagna falla saman. Allar aðrar færibreytur eru meðhöndlaðar sem passabreytur. Þessar breytur hafa verið fengnar með því að passa líkanið eingöngu við sýkt gögn. Alls, Npop ≈ 68k, ts ≈ 50, τ ≈ 21, ≈ 0,48, p ≈ 3,3 prósent.

Niðurstöður fyrir „batnað plús sýktur“ og „ónæmi“ eru síðan líkansspár. Það fyrra má bera saman við raunveruleg gögn til að meta hagkvæmni líkansins.

Líkangögnin fara fram úr gögnunum á fyrstu dögum faraldursins, sem gæti tengst vanskýrslu vegna takmarkaðrar prófunargetu. Athyglisvert er að ferill sýkingartíðni er ósamhverfur: halli hækkunar í upphafi er meiri en halli á hnignun eftir hámark. Einnig virðist fjöldi sýktra jafnast við gildi sem er ekki núll. Í núverandi líkani er þetta útskýrt á eftirfarandi hátt: þar sem fleiri efni eru ónæm, er erfiðara fyrir næm lyf að vera stöðugt sýkt í lengri tíma eða jafnlangt τ og þar með að þróa ónæmi. Við komumst líka að því að aðeins um 30 prósent smitaðra (og batna) þróa ónæmi.

4 Niðurstöður og túlkanir

Ný tegund af stokastískum sjúkdómslíkani er lögð til: lyf geta jafnað sig eftir sýkingu og eru næm á ný. Þeir þróa aðeins ónæmi ef sýking þeirra varir lengur en einkennandi tíma τ. Fyrir τ → ∞ er sýkingartíðni lýst með tölfræðilegri sviðskenningu. Fyrir endanlegt τ gefur sýkingartíðni sviðskenningarinnar efri mörk sýkingarhraða kvikíska líkansins. Þetta opnar möguleika á að einkenna gangverk sjúkdómsins í ljósi mikilvægra fyrirbæra undirliggjandi sviðskenningarinnar: útbreiðsla heimsfaraldurs samsvarar skipuðum áfanga sviðskenningarinnar og mikilvæga gildi smitsjúkdómsins er það fyrir fasaskiptin. Sjúkdómurinn er í viðráðanlegum svörunarham ef samsvarandi sviðskenning er í röskunarfasa.

Þungur hali fækkunar fjölda sýktra, sem jafnast við gildi sem eru ekki núll, er eðlislægur eiginleiki líkansins og má rekja til þess að efni geta verið endursmituð. Í neti með umtalsverðan hluta ónæmisefna er sífellt erfiðara að þróa ónæmi. Ef þessar líkansforsendur væru studdar af læknisfræðilegum rannsóknum, væri erfitt að ná „hjarðarónæmi“. Þetta ætti að hafa áhrif á ákvörðunina að hve miklu leyti viðleitni beinast að því að þróa lækningu eða bóluefni.

Viðurkenningar

Ég þakka Lorenz von Smekal (Giessen) fyrir umræðurnar og gagnlegar athugasemdir við handritið. Ég er þakklátur Paul Martin (Leeds) fyrir áhugaverðar umræður á fyrstu stigum þessa verkefnis.

Fjármögnun

Verkefnið hefur ekki fengið utanaðkomandi styrki.

Skammstafanir

SARS-CoV-2, alvarlegt bráða öndunarfæraheilkenni Coronavirus 2; COVID-19, Kórónuveirusjúkdómur 2019; SIS líkan, næm sýkt næm líkan; SIR líkan, næm sýkt Fjarlægt líkan; SEIR líkan, næm útsett sýkt Fjarlægt líkan; MCMC, Markov keðjan Monte-Carlo.

Aðgengi gagna og efnis

Gögnin sem notuð eru til að greina Wuhan-faraldurinn eru aðgengileg opinberlega frá, Yu [24] (sótt 16. apríl 2020) eða frá höfundi sé þess óskað.

Samkeppnishagsmunir

Höfundur lýsir því yfir að þeir hafi enga hagsmunatengsl.

Framlag höfunda

Handritið er einn höfundur. Öll framlög eru frá þessum höfundi. Höfundur las og samþykkti lokahandritið.

Upplýsingar höfunda

Kurt Langfeld er prófessor (formaður) í fræðilegri eðlisfræði og yfirmaður stærðfræðideildar háskólans í Leeds í Bretlandi. Sérfræðisvið hans eru tölulegar aðferðir til að líkja eftir skammtasviðskenningum og tölfræðilegri eðlisfræði. Hann hlaut Ph.D. í fræðilegri eðlisfræði frá Tækniháskólanum í München árið 1991. Á árunum 1991 til 2006 hafði hann aðsetur við háskólann í Tübingen, Þýskalandi, sem fræðimaður og fyrirlesari. Í leyfi frá störfum naut hann góðs af rannsóknarheimsóknum til alþjóðlegra stofnana: hann var eitt ár hjá CEA, Saclay, París í DFG rannsóknarstyrk og honum var tvisvar boðið sem gestaprófessor við KIAS, Seúl, Suður-Kóreu. Árið 1999 stóðst hann „Habilitation“ og hlaut Venia Legendi.

Árið 2005 varð hann prófessor í fræðilegri eðlisfræði við háskólann í Tübingen. Rannsóknir hans færðu hann til Plymouth háskóla í Bretlandi árið 2006, til háskólans í Liverpool sem prófessor og yfirmaður stærðfræðideildar árið 2016, áður en hann hóf hlutverk sitt í Leeds. Hann hefur starfað sem gagnrýnandi fyrir Verkfræði- og eðlisvísindarannsóknaráðið (EPSRC), austurríska ráðið FWF og Svissneska ofurtölvumiðstöðin (CSCS). Hann fer reglulega yfir handrit sem send eru í virt tímarit í eðlisfræði agna og hefur birt meira en 100 greinar í þessum tímaritum.

Athugasemd útgefanda

Springer Nature er hlutlaus varðandi lögsögukröfur í birtum kortum og stofnanatengslum.

Heimildir

Anastassopoulou C, Russo L, Tsakris A, Siettos C. Gagnabyggð greining, líkan og spá um COVID-19 faraldurinn. PLoS EINN. 2020;15:e0230405. https://journals.plos.org/plosone/article/metrics?id=10.1371/journal.pone. 0230405. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0230405.

2. Becker NG, Britton T. Tölfræðilegar rannsóknir á nýgengi smitsjúkdóma. JR Stat Soc, Ser B, Stat Methodol. 1999;61(2):287–307. https://doi.org/10.1111/1467-9868.00177.

3. Brauer F, Castillo-Chavez C, Feng Z. Stærðfræðilíkön í faraldsfræði. Berlín: Springer; 2019.

4. Dureau J, Kalogeropoulos K, Baguelin M. Handtaka tímabreytilega ökumenn faraldurs með því að nota stochastic dynamic kerfi. Líffræðileg tölfræði. 2013;14(3):541–55. https://doi.org/10.1093/biostatistics/kxs052.

5. Ferguson NM, Cummings DAT, Cauchemez S, Fraser C, Riley S, Meeyai A, Iamsirithaworn S, Burke DS. Aðferðir til að hefta vaxandi inflúensufaraldur í Suðaustur-Asíu. Náttúran. 2005;437(7056):209–14. https://doi.org/10.1038/nature04017.

6. Friedli S, Velenik Y. Tölfræðileg aflfræði grindarkerfa: steypu stærðfræðileg kynning. Cambridge: Cambridge University Press; 2017. https://doi.org/10.1017/9781316882603. ,

7. Giordano G, Blanchini F, Bruno R o.fl. Módel af COVID-19 faraldri og innleiðingu á almennum inngripum á Ítalíu. Nat Med. 2020;26:855–60. https://www.nature.com/articles/s41591-020-0883-7. https://doi.org/10.1038/s41591-020-0883-7.

For more information:1950477648nn@gmail.com