Að leggja aðferð Schröders á minnið sem skilvirka stefnu til að meta rætur af óþekktum margfeldi

Ágrip:

Í þessari grein leggjum við til, eftir því sem við best vitum, fyrsta endurtekna kerfið með minni til að finna rætur sem ekki er vitað um að eru til í bókmenntum. Það bætir skilvirkni svipaðrar aðferðar án minnis vegna Schröder og má líta á það sem fræ til að búa til hærri röð aðferðir með svipaða eiginleika. Þegar röð samleitni þess hefur verið rannsökuð er stöðugleiki þess greindur sem sýnir góða eiginleika þess og hann er borinn saman tölulega hvað varðar aðdráttarafl þeirra við svipuð kerfi án minnis til að finna margar rætur.

Minni er mikilvægur hluti af greind manna og nauðsyn mannlegs náms, hugsunar, sköpunar og lífs. En mörgum finnst minni þeirra ófullnægjandi og þeir gleyma oft mikilvægum hlutum. Gæði minnis eru nátengd endurtekningu minnis.

Svokölluð endurtekning minnis vísar til stöðugrar styrkingar og styrkingar minnis í ferli endurtekins náms á ákveðnum þekkingarpunkti eða færni og að lokum umbreytt í langtímaminni. Þetta ferli hjálpar ekki aðeins við að treysta minningar heldur bætir það einnig magn og gæði þeirra.

Svo, hvernig á að endurtaka minni vel? Fyrst af öllu er nauðsynlegt að skilja námsefnið að fullu. Aðeins með djúpum skilningi er hægt að prenta þekkinguna inn í hugann og forðast að gleyma. Í öðru lagi, haltu áfram að endurskoða. Að endurskoða hina lærðu þekkingu hjálpar heilanum að dýpka tilfinningu þekkingarþekkingar, rökhugsunar og skilnings og eykur þar með langtímaminnið. Að lokum skaltu nota ýmsar aðferðir til að hjálpa til við að endurtaka minni. Til dæmis er hægt að gera minnið dýpra með því að búa til hugarkort, endursegja o.s.frv.

Í stuttu máli er endurtekið minni flókið og mikilvægt ferli sem krefst stöðugrar áreynslu og þrautseigju. Aðeins með því að meðhöndla endurtekið minni sem lífsstíl og samþætta það í alla þætti daglegs náms, vinnu og lífs getum við stöðugt bætt minni okkar, gert okkur kleift að takast betur á við flóknar náms- og vinnuáskoranir og sýna nýjan persónulegan stíl. Kjötmauk er hefðbundið kínverskt lækningaefni sem hefur mörg einstök áhrif, ein þeirra er að bæta minni. Virkni hakkaðs kjöts kemur frá ýmsum virkum efnum sem það inniheldur, þar á meðal karboxýlsýru, fjölsykrur, flavonoids osfrv. Þessi innihaldsefni geta stuðlað að heilaheilbrigði í gegnum ýmsar rásir.

Smelltu á vita 10 leiðir til að bæta minni

Leitarorð:

Ólínulegar jöfnur; endurtekningaraðferðir með minni; margar rætur; afleiðulaus; skilvirkni; stöðugleika.

1. Inngangur

Það eru til í bókmenntum (sjá t.d. tilvísun [1–8]) fjölmargar endurtekningaraðferðir án minnis, sem fela í sér eða ekki afleiður, sem eru hannaðar til að áætla margar rætur ólínulegrar jöfnu f(x)=0, en flestir þurfa þekkingu á margbreytileika m þessara róta.

Það er vel þekkt að Schröder aðferð [9]:

með því að vera raunveruleg færibreyta, krefst 4 fallmats í hverju skrefi og er ekki lengur afleiðulaus. Þessi Traub-Steffensen aðferð á g er of dýr og er ekki skoðuð frekar.

Helsti kostur Schröder kerfisins er óháð þekkingu þess á margbreytileika ólínulega fallsins, öfugt við breyttu Newtonsaðferðina fyrir margar rætur,

þar sem m er margföldun , sem verður að vera þekkt í þessu tilviki. Þetta kerfi var einnig vegna Schröder (sjá einnig tilvísun [9]), og við táknum það með SM2. Þetta kerfi er annars stigs samleitandi og því ákjósanlegt, í skilningi Kung-Traub getgáta, (þar sem það notar tvö ný virknimat í hverri endurtekningu; sjá tilvísun [10]). Hins vegar þarf það þekkingu á fjölbreytileikanum á meðan SM1 notar hana ekki; engu að síður er helsti galli SM1 kerfisins lítil skilvirkni þess, þar sem það þarf að meta þrjú ólínuleg föll (f(x), f 0 (x) og f 00(x)) í hverri endurtekningu.

Markmið okkar í þessu handriti er tvöfalt: frá annarri hliðinni viljum við auka skilvirkni SM1 kerfisins, halda getu þess til að finna margar rætur margfaldleika m án þess að þekkja m og, frá hinni hliðinni, sameina í sama reikniritinu getu til að finna margar rætur með því að nota fleiri en eina fyrri endurtekningu. Þannig að við leggjum til endurtekið kerfi með minni til að meta margar rætur af óþekktum margfaldleika. Eftir því sem við best vitum er engin endurtekin aðferð til í bókmenntum sem uppfyllir þessa eiginleika.

Við greiningu á samleitni fyrirhugaðs kerfis þarf að taka tillit til nokkurra þátta, þar sem um endurtekna aðferð er að ræða með minni, svo villu í nokkrum fyrri endurtekningum verður að hafa í huga og fjölbreytni rótarinnar m ætti einnig að vera lykilatriði. sýningarinnar, þó ekki sé vitað um sérstakt gildi hennar. Varðandi þessa staðreynd skal tekið fram að f (q) ( ) {{0}} fyrir q=1, 2, . . . , m − 1 og f (m) ( ) 6= 0. Þannig að Taylor stækkunin í kringum f og f 0 sem birtast í endurtekinni tjáningu ætti að taka tillit til þessara upplýsinga.

Á hinn bóginn, þar sem fyrirhugað kerfi okkar er endurtekið ferli sem notar þrjár fyrri endurtekningar til að reikna út næstu, er nauðsynlegt að tjá villujöfnuna með hliðsjón af samsvarandi villum þeirra og, út frá henni, að draga ályktun um samleitni hennar. Þetta er gert með því að nota klassíska niðurstöðu eftir Ortega og Rheinboldt [11], sem er kynnt hér að neðan.

Setning 1. Látum ψ vera endurtekna aðferð með minni sem myndar röð {xk} af nálgunum við rótina og láttu þessa röð renna saman í . Ef það er til fasti η sem er ekki núll og jákvæðar tölur ti, i=0, 1, . . . , m, þannig að ójöfnuðurinn

Í þessu handriti er kafli 2 helgaður hönnun og samleitnigreiningu fyrirhugaðrar afleiðulausrar endurtekningaraðferðar með minni til að finna margar rætur (án þess að vita um margbreytileika hennar). Í kafla 3 er stöðugleiki þess greindur til að draga þá ályktun að hann sé háður upphaflegu mati fyrir bæði einfaldar og margar rætur. Í kafla 4 er töluleg frammistaða aðferðarinnar athugað á nokkrum prófunaraðgerðum sem verið er að greina, sem og samsvarandi aðdráttarafl þeirra, í samanburði við núverandi Schröder aðferðir.

2. Hönnun og samleitnigreining

Útgangspunktur okkar er afleiðulausa kerfið með minni vegna Traub [12],

Helsti kostur þessa kerfis er hæfni þess til að finna einfaldar, sem og margar, rætur ólínulegrar falls án vitneskju um margfeldið, með betri skilvirkni en SM1. Vissulega, með því að nota Ostrowskis skilvirknivísitölu [13], er ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 lægra en IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, þar sem hver stuðull I er reiknaður sem p 1 d, með p er röð samleitni aðferðarinnar, og d magn nýrra virknimats í hverri endurtekningu.

Í næsta kafla er kraftmikil greining gerð á þessu kerfi til að sýna eigindlega frammistöðu þess á einföldum og mörgum rótum. Þar sem um endurtekna aðferð er að ræða með minni, verður að nota margvídda raunverulega gangverki.

3. Eigindleg rannsókn á fyrirhuguðum endurteknum aðferðum með minni fyrir margar rótar

Við skulum athuga að aðferðin okkar notar þrjár fyrri endurtekningar til að búa til eftirfarandi; því má orða það almennt a

þar sem x0, x−1 og x−2 eru upphafsmat. Með því að nota aðferðina sem skilgreind er í tilvísun [14] er hægt að lýsa þessari aðferð sem stakri raunverulegu fjölvíddar kraftmiklu kerfi og hægt er að greina eigindlega hegðun þess

Eigindleg frammistaða dýnamíska kerfisins hefur lykilatriði í lýsingu á föstum punktum þeirra, hvað varðar stöðugleika. Til að reikna út fasta punkta 1 SF Υ er hægt að skilgreina hjálparvigurfall M: R3 −→ R3, tengt 1 SF Υ með því að nota:

Þar að auki, ef það er til eigingildi λi af jakobíska fylkinu M{{0}} metið á föstum punkti x ∗ sem uppfyllir |λi|< 1 og annar λj þannig að |λj|> 1, þá er x ∗ kallaður fastur punktur. Sem framlenging á hugtakinu í einvíða gangverki, ef eigingildi M0 (x ∗ ) uppfylla |λj |=0 fyrir öll gildi j=1, 2, . . . , m, þá er fasti punkturinn x ∗ ekki aðeins aðdráttarafl heldur líka aðdráttarafl. Þess vegna hefur aðferðin fjórðungssamruna, að minnsta kosti á flokki ólínulegra falla sem leiða rökfallið (sjá tilvísun [12]).

Með því að líta á x ∗ aðdráttarfastan punkt M, er aðdráttarafl þess A(x ∗ ) skilgreint sem mengi formynda af hvaða röð sem er

Eigindleg frammistaða mismunandi endurtekningarkerfa sem eru hönnuð til að leysa ólínulegar jöfnur með mörgum rótum hefur verið rannsakaður af mismunandi höfundum (sjá td tilvísun [17-19]). Það hefur verið gert með því að nota staka flókna gangverki, þar sem öll þessi kerfi eru án minni. Í þessum rannsóknum hefur komið fram að þegar ítrekuð aðferð (án minni) sem er hönnuð til að finna margar rætur virkar á ólínulegt fall með bæði einföldum og margfeldum rótum, er nokkuð algengt að aðdráttarsvæði einfaldra róta séu þrengri en þeir sem eru af mörgum rótum. Reyndar geta þessar einföldu rætur skilgreint fasta punkta skynseminnar sem eru fráhrindandi. Þess vegna ætti endurtekningaraðferðin að geta fundið aðeins margar rætur.

Eftirfarandi eigindleg greining er gerð á p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m Stærra en eða jafnt og 1 þannig að geta kerfisins til að finna bæði einfalt og margar rætur (með margföldun m) eru prófaðar.

Mjög gagnlegt tól til að sjá fyrir sér greiningarniðurstöðurnar er kraftmikið plan kerfisins, sem samanstendur af mengi mismunandi aðdráttaraflanna. Hér er hreyfiplan fyrirhugaðrar aðferðar gTM byggt upp með því að reikna sporbraut möskva 800 × 800 upphafspunkta (z, x) fyrir fast gildi w í upphafsnetinu. Þar sem endurtekningarkerfin þarf að byrja með þremur upphafsmatum, myndum við möskva af kraftmiklum flötum, sem hvert og eitt þeirra hefur fast gildi w á bilinu [−1,75, 1,75]. Í þessum fasa andlitsmyndum er hver punktur möskva málaður í mismunandi litum (appelsínugulur og grænn í þessu tilfelli), eftir því hvaða aðdráttarafl þau renna saman að (merkt sem hvít stjarna), með vikmörk upp á 10−3. Auk þess birtast þær svartar ef brautin hefur ekki náð neinum aðlaðandi föstum punkti í að hámarki 500 endurtekningar. Þar sem föstu gildi w er breytt í vigri gilda sem tilheyra [−1,75, 1,75], gefur það samsetningu af tölum fyrir hvern margfeldi, sem gefur tilefni til eins konar útlínurit.

Á mynd 1 sýnum við frammistöðu gTM kerfisins á p(x), það er skynsamlegrar rekstraraðila TM fyrir einfaldar rætur. Með því að fylgjast með hegðun fyrir mismunandi reitir með fyrstu endurtekningunum þremur sem hver um sig er mismunandi í [−2, 2], verður tekið eftir stöðugri hagkvæmni. Aðdráttarafl rótanna eru þau einu; þeir eru breiðir, og eina ólíka frammistaðan (betri en aðrir hvað varðar einfaldleika landamæranna á milli vatnanna) er tilfellið w=0, þar sem skynsemisfallið er einfaldað. Í öllum tilfellum kemur fram að eina mögulega hegðun aðferðar gTM er samleitni að rótum.

Á hinn bóginn, á mynd 2, sýnum við mjög svipaða frammistöðu þegar önnur rótin er tvöföld og hin er einföld. Aðdráttarafl eru jafn breiður og þessi hegðun er mjög svipuð þegar önnur fjölbreytni hefur verið könnuð. Að auki má sjá í þessu tilfelli að það er aðeins samleitni að rótum, þar sem dekkri svæði hafa aðeins hægari samleitni, vegna þess að mörk aðdráttaraflanna eru flóknari.

4. Töluleg frammistaða og kraftmikil próf

Í þessum kafla berum við saman þrjár aðferðir, nefnilega SM2 (sem krefjast þekkingar á margbreytileikanum), SM1 og gTM (fengnar af aðferð Traubs). Síðustu tvær aðferðirnar krefjast ekki þekkingar á margbreytileikanum, en þær krefjast auka virknimats í hvert endurtekningarskref (þrjár í tilviki SM1, tvær í gTM tilfelli).

Aðferðirnar eru bornar saman bæði eigindlega í gegnum vatnasvæði aðdráttaraflanna og megindlega með nokkrum mælingum. Þessar ráðstafanir eru keyrslutími örgjörva til að keyra aðferðina á punktum í 6 x 6 ferningi með miðju í uppruna. Við skiptum ferningnum með jafndreifðum láréttum og lóðréttum línum og tókum alla skurðpunkta sem upphafspunkta fyrir endurtekningarferlið.

Fyrir TM, aðferð með minni, þurftum við að taka tvo upphafspunkta til viðbótar x−1=x0 + d og x−2=x0 + 2d, þar sem d er bil línanna. Önnur viðmiðun sem kóðinn safnar er meðalfjöldi endurtekningar á punkti (AIPP), en þar sem aðferðirnar krefjast mismunandi fjölda virknimats í hverju skrefi, tókum við meðalfjölda aðgerða á punkt (AFPP). Þriðja viðmiðið er fjöldi frávikspunkta (DP), sem er fjöldi punkta sem aðferðin náði ekki saman í 40 endurtekningar með vikmörkum 10−7.

Miðað við mynd 3 er ljóst að SM1 og SM2 eru með svipuð skál og gTM hefur fleiri lófa á mörkum skálanna tveggja. Frá mynd 4 tökum við eftir því að gTM er betra en SM1. Í næstu 3 myndum er gTM best, með breiðari aðdráttarafl og mjórri svört svæði sem ekki renna saman við ræturnar. Þessi frammistaða er haldin jafnvel fyrir ómargliðafall f5. Þar að auki, á mynd 8, má taka eftir því að aðdráttarafl aðferðar SM2 eru breiðari en gTM aðferðin okkar.

Nú er vísað til gagna í töflum 1–3. Gangtími örgjörva í sekúndum er gefinn upp í töflu 2. SM2 er stöðugt hraðari en hinir. Ef margföldunin er ekki þekkt, þá er gTM hraðari en SM1, nema fyrsta dæmið. Að meðaltali er gTM hraðari en SM1.

Meðalfjöldi fallmats á punkti (sjá töflu 2) er hæstur fyrir SM1 fyrir öll dæmin. Athugaðu að síðasta dæmið er erfiðast fyrir allar aðferðir. Fjöldi fráviksstiga er lægstur fyrir gTM fyrir dæmi 1, 3 og 4. SM1 er með mest fráviksstig fyrir fyrstu 6 dæmin, en í síðasta dæminu gekk gTM illa og varð í þriðja sæti í heildina. Aðferðin SM2 var best að meðaltali fyrir 3 flokkana og síðan gTM fyrir 2 flokka.

5. Ályktanir

Nýtt endurtekið kerfi með minni með getu til að finna bæði einfaldar og margar rætur (án þess að þurfa að þekkja margbreytileika þeirra) hefur verið smíðað. Það er, eftir því sem við best vitum, fyrsta aðferðin með þessa eiginleika í bókmenntum. Reynt hefur verið að samleitaröð þess sé um það bil 1,84 með tveimur nýjum virknimati í hverri endurtekningu; þetta skilar kerfinu til að bæta skilvirkni Schröder kerfisins án minnis SM1, sem hefur svipaða eiginleika. Með því að nota margvíða raunverulega staka gangverki og lágstigs margliður með einföldum og mörgum rótum hefur stöðugleiki fyrirhugaðs kerfis verið greindur, sem sýnir breitt svæði þar sem sameinast beggja tegunda róta.

Í síðasta kafla, Schröder og gTM aðferðir sem keyra á nokkrum dæmum hafa gert okkur kleift að álykta að ef margföldunin er þekkt fyrirfram, þá geta SM1 og gTM ekki keppt, jafnvel þó að gTM sé betri en SM1. Hins vegar, þegar margbreytileikinn er ekki þekktur, sýnir fyrirhuguð aðferð gTM mjög góðan árangur og betri skilvirkni en SM1 aðferðir, hvað varðar framkvæmdartíma, reiknikostnað og breidd aðdráttaraflanna.

Framlög höfunda:

Hugmyndafræði, AC og JRT; aðferðafræði, BN; hugbúnaður, AC og BN; löggilding, BN; formleg greining, JRT; rannsókn, AC; ritun—upprunaleg drög að undirbúningi, AC og BN; skrif - yfirferð og klipping, JRT; umsjón, BN og JRT Allir höfundar hafa lesið og samþykkt útgáfu handritsins.

Fjármögnun:

Þessi rannsókn var að hluta studd af PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Yfirlýsing um upplýst samþykki:

Á ekki við.

Viðurkenningar:

Höfundar vilja þakka nafnlausum gagnrýnendum fyrir ábendingar þeirra og athugasemdir sem hafa bætt lokaútgáfu þessa handrits.

Hagsmunaárekstrar:

Höfundar lýsa ekki yfir hagsmunaárekstrum.

Heimildir

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Fjölpunktaaðferðir til að leysa ólínulegar jöfnur; Academic Press: Oxford, Bretlandi, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Framfarir í endurteknum aðferðum fyrir ólínulegar jöfnur; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Sviss, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Nýtt æðri röð ákjósanlegt afleiðulaust kerfi fyrir margar rætur. J. Comput. Appl. Stærðfræði. 2021, 113773, í prentun. [Krossvísun]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Ákjósanlegt fjórðu-stigs afleiðulaust tölulegt reiknirit fyrir margar rætur. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Fjölskylda af ákjósanlegri áttundu röð endurtekningaraðgerða fyrir margar rætur og gangverki hennar. J. Stærðfræði. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Fjölskylda endurtekinna aðferða af fimmtu röð til að finna margar rætur ólínulegra jöfnna. Númer. endaþarm. Appl. 2021, 14, 186–199. [Krossvísun]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Duglegur flokkur fjórðu gráðu afleiðulausrar aðferðar fyrir margar rætur. Alþj. J. Ólínuleg Sci. Númer. Simul. 2021. [Krossvísun]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Fjölskylda ákjósanlegrar fjórðu stigs aðferðar fyrir margar rætur ólínulegra jöfnunar. Stærðfræði. Aðferðir Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [Krossvísun]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Stærðfræði. Ann. 1870, 2, 317–365. [Krossvísun]

10. Kung, HT; Traub, JF Besta röð eins punkta og margra punkta endurtekningar. J. Assoc. Reikni. Mach. 1974, 21, 643–651. [Krossvísun]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC endurtekningarlausn á ólínulegum jöfnum í nokkrum breytum; Academic Press: Cambridge, MA, Bandaríkin, 1970.

12. Traub, JF Endurtekningaraðferðir til að leysa jöfnur; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, Bandaríkin, 1964.

13. Ostrowski, AM Jöfnunarlausnir og jöfnukerfi; Academic Press: New York, NY, Bandaríkin; London, Bretlandi, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Fjölvíða kraftmikil nálgun við endurteknar aðferðir með minni. Appl. Stærðfræði. Reikni. 2015, 271, 701–715. [Krossvísun]

15. Devaney, RL Kynning á óskipulegum kraftmiklum kerfum; Framfarir í stærðfræði og verkfræði; CRC Press: Boca Raton, FL, Bandaríkjunum, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com